シラバス参照

基本情報／Basic Information
詳細情報／Detailed Information
授業計画詳細情報／Class Schedule Details

基本情報/Basic Information

開講科目名／Course	実解析／Real Analysis
時間割コード／Course Code	7231000016
ナンバリングコード／Numbering Code
開講所属／Course Offered by	理工学部／
曜日コマ／Day, Period	火／Tue　3
開講区分／Semester offered	前期／first semester
単位数／Credits	2.0
学年／Year	3,4
主担当教員／Main Instructor	津田谷公利／TSUTAYA KIMITOSHI
科目区分／Course Group	専門教育科目
教室／Classroom
必修・選択／Required/Elective
授業形式／Class Format	講義科目
メディア授業／Media lecture	－

担当教員情報/Instructor Information

教員名／Instructor	教員所属名／Faculty/Department
津田谷公利／TSUTAYA KIMITOSHI	理工学研究科／

難易度（レベル）／Level	レベル3
対応するＣＰ／ＤＰ／CP/DP	CP・DP　１　見通す力　　 CP・DP　２　解決していく力
授業としての具体的到達目標／Concrete arrival target as the class	○ルベーグ可測集合，可測関数の概念を理解すること(見通す力) ○単調収束定理，ルベーグの優収束定理，フビニの定理を理解すること(見通す力) ○単調収束定理，ルベーグの優収束定理が使えるようになること(解決していく力)
授業の概要／Summary of the class	リーマン積分は極限操作を行うとき欠点があります．そのような欠点を解消するため，新たな積分概念がルベーグにより導入されました．それがルベーグ積分です．現代数学の重要な理論の1つです．この授業ではルベーグ積分の基本概念や収束定理について解説します．
授業の内容予定／Contents plan of the class	第1回ジョルダン測度，有限加法測度，測度第2回シグマ集合体，集合体，外測度，測度零集合第3回ルベーグ測度，測度の完備性第4回可測関数第5回可測関数の演算と極限第6回ルベーグ積分の定義第7回ルベーグ積分の性質，単調収束定理第8回中間試験(60分)，補足第9回試験解説，ファトゥーの補題第10回ルベーグの優収束定理，径数付き積分の微分第11回リーマン積分との関係，ボレル集合体第12回単調族第13回直積空間，直積測度第14回フビニの定理第15回期末試験(60分)，全体のまとめ授業の進行状況等により，シラバスと実際の内容と異なる場合には，その都度説明します．
成績評価方法及び採点基準／A scholastic evaluation method and marking standard	・中間試験・期末試験（65%）・レポート(15%)，小テスト(20%）これらを合わせて最終的な成績評価を行う予定です．詳細は最初の授業で資料を提示して説明します．
予習及び復習等の内容／Contents such as preparations for lessons and the review	シラバスに記載された各回の授業の内容予定を参考とし，教科書の該当箇所を授業実施時までに予習し，授業実施後に復習を行ってください．(予習，復習は，最低でも各2時間程度行う必要があります) 基本的な数学用語や概念の定義を理解して覚えることが大切です．復習に力を入れ，次回の授業にあいまいな事項や疑問点を持ち越さないようにしてください．また，教科書の練習問題，「実解析演習」の演習問題に時間をかけて取り組んでください．
教材・教科書／The teaching materials, textbook	リーマン積分からルベーグ積分へ: 積分論と実解析 (SGCライブラリ 180)，小川卓克著，サイエンス社，2022 を使う予定です．
参考文献／bibliography	新装版ルベーグ積分入門使うための理論と演習，吉田伸生著，日本評論社，2021 ルベーグ積分入門(新装版)，伊藤清三著，裳華房， 2017 はじめてのルベーグ積分，寺澤順著，日本評論社，2009 ルベグ積分入門，吉田洋一著，ちくま学芸文庫，2015
留意点・予備知識／Point to keep in mind, back ground	履修にあたり，「集合・位相I」と「解析学序論I」，「解析学序論II」の各単位を取得していることが必須です．特に「解析学序論II」で学習したリーマン積分の定義と諸性質を理解していることが必要となります．「実解析演習」も受講することを前提とします．
授業内容に関する質問・疑義等／Question, doubt about class contents	オフィスアワーの時間帯で受け付けます．月曜日17:30－18:30
Eメールアドレス・HPアドレス／E-mail address, HP address	HP: http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/~tsutaya/
学問分野1（主学問分野）／Discipline 1	B12:解析学，応用数学およびその関連分野
学問分野2（副学問分野）／Discipline 2	該当なし
学問分野3（副学問分野）／Discipline 3	該当なし
実務経験のある教員による授業科目について／About the class subject by the teacher with the work experience	なし
地域志向科目／Local intention subject	なし
授業形態・授業方法／Class form, class method	講義形式で授業を進めていきます．
科目ナンバー／The subject number
メディア授業による著作物利用の有無について／Whether or not copyrighted works are used in media classes	無／Nothing
その他／Others	初回の授業のみ「実解析」と「実解析演習」を交換します．4月11日(火）の「実解析」(講義)は「実解析演習」に，4月17日(月)の「実解析演習」は「実解析」に変更します．第２回以降は時間割通りです．

No.	回（日時）／Time (date and time)	主題と位置付け（担当）／Subjects and instructor's position	学習方法と内容／Methods and contents	備考／Notes
該当するデータはありません

開講科目名／Course	実解析／Real Analysis
時間割コード／Course Code	7231000016
ナンバリングコード／Numbering Code
開講所属／Course Offered by	理工学部／
曜日コマ／Day, Period	火／Tue　3
開講区分／Semester offered	前期／first semester
単位数／Credits	2.0
学年／Year	3,4
主担当教員／Main Instructor	津田谷公利／TSUTAYA KIMITOSHI
科目区分／Course Group	専門教育科目
教室／Classroom
必修・選択／Required/Elective
授業形式／Class Format	講義科目
メディア授業／Media lecture	－

難易度（レベル）／Level	レベル3
対応するＣＰ／ＤＰ／CP/DP	CP・DP　１　見通す力　　 CP・DP　２　解決していく力
授業としての具体的到達目標／Concrete arrival target as the class	○ルベーグ可測集合，可測関数の概念を理解すること(見通す力) ○単調収束定理，ルベーグの優収束定理，フビニの定理を理解すること(見通す力) ○単調収束定理，ルベーグの優収束定理が使えるようになること(解決していく力)
授業の概要／Summary of the class	リーマン積分は極限操作を行うとき欠点があります．そのような欠点を解消するため，新たな積分概念がルベーグにより導入されました．それがルベーグ積分です．現代数学の重要な理論の1つです．この授業ではルベーグ積分の基本概念や収束定理について解説します．
授業の内容予定／Contents plan of the class	第1回ジョルダン測度，有限加法測度，測度第2回シグマ集合体，集合体，外測度，測度零集合第3回ルベーグ測度，測度の完備性第4回可測関数第5回可測関数の演算と極限第6回ルベーグ積分の定義第7回ルベーグ積分の性質，単調収束定理第8回中間試験(60分)，補足第9回試験解説，ファトゥーの補題第10回ルベーグの優収束定理，径数付き積分の微分第11回リーマン積分との関係，ボレル集合体第12回単調族第13回直積空間，直積測度第14回フビニの定理第15回期末試験(60分)，全体のまとめ授業の進行状況等により，シラバスと実際の内容と異なる場合には，その都度説明します．
成績評価方法及び採点基準／A scholastic evaluation method and marking standard	・中間試験・期末試験（65%）・レポート(15%)，小テスト(20%）これらを合わせて最終的な成績評価を行う予定です．詳細は最初の授業で資料を提示して説明します．
予習及び復習等の内容／Contents such as preparations for lessons and the review	シラバスに記載された各回の授業の内容予定を参考とし，教科書の該当箇所を授業実施時までに予習し，授業実施後に復習を行ってください．(予習，復習は，最低でも各2時間程度行う必要があります) 基本的な数学用語や概念の定義を理解して覚えることが大切です．復習に力を入れ，次回の授業にあいまいな事項や疑問点を持ち越さないようにしてください．また，教科書の練習問題，「実解析演習」の演習問題に時間をかけて取り組んでください．
教材・教科書／The teaching materials, textbook	リーマン積分からルベーグ積分へ: 積分論と実解析 (SGCライブラリ 180)，小川卓克著，サイエンス社，2022 を使う予定です．
参考文献／bibliography	新装版ルベーグ積分入門使うための理論と演習，吉田伸生著，日本評論社，2021 ルベーグ積分入門(新装版)，伊藤清三著，裳華房， 2017 はじめてのルベーグ積分，寺澤順著，日本評論社，2009 ルベグ積分入門，吉田洋一著，ちくま学芸文庫，2015
留意点・予備知識／Point to keep in mind, back ground	履修にあたり，「集合・位相I」と「解析学序論I」，「解析学序論II」の各単位を取得していることが必須です．特に「解析学序論II」で学習したリーマン積分の定義と諸性質を理解していることが必要となります．「実解析演習」も受講することを前提とします．
授業内容に関する質問・疑義等／Question, doubt about class contents	オフィスアワーの時間帯で受け付けます．月曜日17:30－18:30
Eメールアドレス・HPアドレス／E-mail address, HP address	HP: http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/~tsutaya/
学問分野1（主学問分野）／Discipline 1	B12:解析学，応用数学およびその関連分野
学問分野2（副学問分野）／Discipline 2	該当なし
学問分野3（副学問分野）／Discipline 3	該当なし
実務経験のある教員による授業科目について／About the class subject by the teacher with the work experience	なし
地域志向科目／Local intention subject	なし
授業形態・授業方法／Class form, class method	講義形式で授業を進めていきます．
科目ナンバー／The subject number
メディア授業による著作物利用の有無について／Whether or not copyrighted works are used in media classes	無／Nothing
その他／Others	初回の授業のみ「実解析」と「実解析演習」を交換します．4月11日(火）の「実解析」(講義)は「実解析演習」に，4月17日(月)の「実解析演習」は「実解析」に変更します．第２回以降は時間割通りです．

授業情報／Class Information

基本情報/Basic Information

担当教員情報/Instructor Information